t-критерий Стьюдента

Парный t-критерий Стьюдента

U-критерий Манна-Уитни

Критерий Уилкоксона

Критерий χ² Пирсона

Точный критерий Фишера

Отношение шансов

Относительный риск

Критерий корреляции Пирсона

Критерий Спирмена

Метод Колмогорова-Смирнова

Парная линейная регрессия

Нелинейная регрессия

Дисперсионный анализ

Параметрические методы анализа

V Крамера

ROC-анализ

Дискриминантный анализ

Бинарная логистическая регрессия

Псевдорандомизация (PSM)

Деревья классификации (CHAID)

Поправка Бонферрони

Кривые Каплана-Мейера

Критерии и методы

КРИТЕРИЙ КОРРЕЛЯЦИИ ПИРСОНА

​Критерий корреляции Пирсона – это метод параметрической статистики, позволяющий определить наличие или отсутствие линейной связи между двумя количественными показателями, а также оценить ее тесноту и статистическую значимость. Другими словами, критерий корреляции Пирсона позволяет определить, изменяется ли (возрастает или уменьшается) один показатель в ответ на изменения другого? В статистических расчетах и выводах коэффициент корреляции обычно обозначается как r_xy или R_xy.

1. История разработки критерия корреляции

Критерий корреляции Пирсона был разработан командой британских ученых во главе с Карлом Пирсоном (1857-1936) в 90-х годах 19-го века, для упрощения анализа ковариации двух случайных величин. Помимо Карла Пирсона над критерием корреляции Пирсона работали также Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон.

2. Для чего используется критерий корреляции Пирсона?

Критерий корреляции Пирсона позволяет определить, какова теснота (или сила) корреляционной связи между двумя показателями, измеренными в количественной шкале. При помощи дополнительных расчетов можно также определить, насколько статистически значима выявленная связь.

Например, при помощи критерия корреляции Пирсона можно ответить на вопрос о наличии связи между температурой тела и содержанием лейкоцитов в крови при острых респираторных инфекциях, между ростом и весом пациента, между содержанием в питьевой воде фтора и заболеваемостью населения кариесом.

3. Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат Пирсона

1. Сопоставляемые показатели должны быть измерены в количественной шкале (например, частота сердечных сокращений, температура тела, содержание лейкоцитов в 1 мл крови, систолическое артериальное давление).
2. Посредством критерия корреляции Пирсона можно определить лишь наличие и силу линейной взаимосвязи между величинами. Прочие характеристики связи, в том числе направление (прямая или обратная), характер изменений (прямолинейный или криволинейный), а также наличие зависимости одной переменной от другой - определяются при помощи регрессионного анализа.
3. Количество сопоставляемых величин должно быть равно двум. В случае анализ взаимосвязи трех и более параметров следует воспользоваться методом факторного анализа.
4. Критерий корреляции Пирсона является параметрическим, в связи с чем условием его применения служит нормальное распределение каждой из сопоставляемых переменных. В случае необходимости корреляционного анализа показателей, распределение которых отличается от нормального, в том числе измеренных в порядковой шкале, следует использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
5. Следует четко различать понятия зависимости и корреляции. Зависимость величин обуславливает наличие корреляционной связи между ними, но не наоборот.

4. Как рассчитать коэффициента корреляции Пирсона?

Расчет коэффициента корреляции Пирсона производится по следующей формуле:

5. Как интерпретировать значение коэффициента корреляции Пирсона?

Значения коэффициента корреляции Пирсона интерпретируются исходя из его абсолютных значений. Возможные значения коэффициента корреляции варьируют от 0 до ±1. Чем больше абсолютное значение r_xy – тем выше теснота связи между двумя величинами. r_xy = 0 говорит о полном отсутствии связи. r_xy = 1 – свидетельствует о наличии абсолютной (функциональной) связи. Если значение критерия корреляции Пирсона оказалось больше 1 или меньше -1 – в расчетах допущена ошибка.

Для оценки тесноты, или силы, корреляционной связи обычно используют общепринятые критерии, согласно которым абсолютные значения r_xy < 0.3 свидетельствуют о слабой связи, значения r_xy от 0.3 до 0.7 - о связи средней тесноты, значения r_xy > 0.7 - о сильной связи.

Более точную оценку силы корреляционной связи можно получить, если воспользоваться таблицей Чеддока:

Абсолютное значение rxy	Теснота (сила) корреляционной связи
менее 0.3	слабая
от 0.3 до 0.5	умеренная
от 0.5 до 0.7	заметная
от 0.7 до 0.9	высокая
более 0.9	весьма высокая

Оценка статистической значимости коэффициента корреляции r_xy осуществляется при помощи t-критерия, рассчитываемого по следующей формуле:

Полученное значение t_r сравнивается с критическим значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы n-2. Если t_r превышает t_крит, то делается вывод о статистической значимости выявленной корреляционной связи.

6. Пример расчета коэффициента корреляции Пирсона

Целью исследования явилось выявление, определение тесноты и статистической значимости корреляционной связи между двумя количественными показателями: уровнем тестостерона в крови (X) и процентом мышечной массы в теле (Y). Исходные данные для выборки, состоящей из 5 исследуемых (n = 5), сведены в таблице:

N	Содержание тестостерона в крови, нг/дл (X)	Процент мышечной массы, % (Y)
1.	951	83
2.	874	76
3.	957	84
4.	1084	89
5.	903	79

1. Вычислим суммы анализируемых значений X и Y:

   Σ(X) = 951 + 874 + 957 + 1084 + 903 = 4769

   Σ(Y) = 83 + 76 + 84 + 89 + 79 = 441

2. Найдем средние арифметические для X и Y:

   M_x = Σ(X) / n = 4769 / 5 = 953.8

   M_y = Σ(Y) / n = 441 / 5 = 82.2

3. Рассчитаем для каждого значения сопоставляемых показателей величину отклонения от среднего арифметического d_x = X - M_x и d_y = Y - M_y:

   N	Содержание тестостерона в крови, нг/дл (X)	Процент мышечной массы, % (Y)	Отклонение содержания тестостерона от среднего значения (dx)	Отклонение % мышечной массы от среднего значения (dy)
   1.	951	83	-2.8	0.8
   2.	874	76	-79.8	-6.2
   3.	957	84	3.2	1.8
   4.	1084	89	130.2	6.8
   5.	903	79	-50.8	-3.2

4. Возведем в квадрат каждое значение отклонения d_x и d_y:

   N	Содержание тестостерона в крови, нг/дл (X)	Процент мышечной массы, % (Y)	Отклонение содержания тестостерона от среднего значения (dx)	Отклонение % мышечной массы от среднего значения (dy)	dx2	dy2
   1.	951	83	-2.8	0.8	7.84	0.64
   2.	874	76	-79.8	-6.2	6368.04	38.44
   3.	957	84	3.2	1.8	10.24	3.24
   4.	1084	89	130.2	6.8	16952,04	46.24
   5.	903	79	-50.8	-3.2	2580,64	10.24

5. Рассчитаем для каждой пары анализируемых значений произведение отклонений d_x x d_y:

   N	Содержание тестостерона в крови, нг/дл (X)	Процент мышечной массы, % (Y)	Отклонение содержания тестостерона от среднего значения (dx)	Отклонение % мышечной массы от среднего значения (dy)	dx2	dy2	dx x dy
   1.	951	83	-2.8	0.8	7.84	0.64	-2.24
   2.	874	76	-79.8	-6.2	6368.04	38.44	494.76
   3.	957	84	3.2	1.8	10.24	3.24	5.76
   4.	1084	89	130.2	6.8	16952,04	46.24	885.36
   5.	903	79	-50.8	-3.2	2580,64	10.24	162.56

6. Определим значения суммы квадратов отклонений Σ(d_x²) и Σ(d_y²):

   Σ(d_x²) = 25918.8

   Σ(d_y²) = 98.8

7. Найдем значение суммы произведений отклонений Σ(d_x x d_y):

   Σ(d_x x d_y) = 1546.2

8. Рассчитаем значение коэффициента корреляции Пирсона r_xy по приведенной выше формуле:
   

9. Найдем значение t-критерия для оценки статистической значимости корреляционной связи:
   
   Критическое значение t-критерия найдем по таблице, где при числе степеней свободы f = n-2 = 3 и уровне значимости p = 0.01 значение t_крит = 5.84. Рассчитанное значение t_r (7.0) больше t_крит (5.84), следовательно связь является статистически значимой.


10. Сделаем статистический вывод:

    Значение коэффициента корреляции Пирсона составило 0.97, что соответствует весьма высокой тесноте связи между уровнем тестостерона в крови и процентом мышечной массы. Данная корреляционная связь является статистически значимой (p<0.01).