Статистический
Учёные-
Общие вопросы
Алгоритмы 
Описательная
Критерии
Диаграммы
МнениеБиблиотека постов MEDSTATISTIC об анализе медицинских данных
Ещё больше полезной информации в нашем блоге в Инстаграм @medstatistic
Критерии и методы
КРИТЕРИЙ ХИ-КВАДРАТ ПИРСОНА
Критерий χ2 Пирсона – это непараметрический метод, который позволяет оценить значимость различий между фактическим (выявленным в результате исследования) количеством исходов или качественных характеристик выборки, попадающих в каждую категорию, и теоретическим количеством, которое можно ожидать в изучаемых группах при справедливости нулевой гипотезы. Выражаясь проще, метод позволяет оценить статистическую значимость различий двух или нескольких относительных показателей (частот, долей).
1. История разработки критерия χ2
Критерий хи-квадрат для анализа таблиц сопряженности был разработан и предложен в 1900 году английским математиком, статистиком, биологом и философом, основателем математической статистики и одним из основоположников биометрики Карлом Пирсоном (1857-1936).
2. Для чего используется критерий χ2 Пирсона?
Критерий хи-квадрат может применяться при анализе таблиц сопряженности, содержащих сведения о частоте исходов в зависимости от наличия фактора риска. Например, четырехпольная таблица сопряженности выглядит следующим образом:
| Исход есть (1) | Исхода нет (0) | Всего | |
| Фактор риска есть (1) | A | B | A + B |
| Фактор риска отсутствует (0) | C | D | C + D |
| Всего | A + C | B + D | A + B + C + D |
Как заполнить такую таблицу сопряженности? Рассмотрим небольшой пример.
Проводится исследование влияния курения на риск развития артериальной гипертонии. Для этого были отобраны две группы исследуемых - в первую вошли 70 человек, ежедневно выкуривающих не менее 1 пачки сигарет, во вторую - 80 некурящих такого же возраста. В первой группе у 40 человек отмечалось повышенное артериальное давление. Во второй - артериальная гипертония наблюдалась у 32 человек. Соответственно, нормальное артериальное давление в группе курильщиков было у 30 человек (70 - 40 = 30) а в группе некурящих - у 48 (80 - 32 = 48).
Заполняем исходными данными четырехпольную таблицу сопряженности:
| Артериальная гипертония есть (1) | Артериальной гипертонии нет (0) | Всего | |
| Курящие (1) | 40 | 30 | 70 |
| Некурящие (0) | 32 | 48 | 80 |
| Всего | 72 | 78 | 150 |
В полученной таблице сопряженности каждая строчка соответствует определенной группе исследуемых. Столбцы - показывают число лиц с артериальной гипертонией или с нормальным артериальным давлением.
Задача, которая ставится перед исследователем: имеются ли статистически значимые различия между частотой лиц с артериальным давлением среди курящих и некурящих? Ответить на этот вопрос можно, рассчитав критерий хи-квадрат Пирсона и сравнив получившееся значение с критическим.
3. Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат Пирсона
- Сопоставляемые показатели должны быть измерены в номинальной шкале (например, пол пациента - мужской или женский) или в порядковой (например, степень артериальной гипертензии, принимающая значения от 0 до 3).
- Данный метод позволяет проводить анализ не только четырехпольных таблиц, когда и фактор, и исход являются бинарными переменными, то есть имеют только два возможных значения (например, мужской или женский пол, наличие или отсутствие определенного заболевания в анамнезе...). Критерий хи-квадрат Пирсона может применяться и в случае анализа многопольных таблиц, когда фактор и (или) исход принимают три и более значений.
- Сопоставляемые группы должны быть независимыми, то есть критерий хи-квадрат не должен применяться при сравнении наблюдений "до-"после". В этих случаях проводится тест Мак-Немара (при сравнении двух связанных совокупностей) или рассчитывается Q-критерий Кохрена (в случае сравнения трех и более групп).
- При анализе четырехпольных таблиц ожидаемые значения в каждой из ячеек должны быть не менее 10. В том случае, если хотя бы в одной ячейке ожидаемое явление принимает значение меньше 10, то для анализа лучше использовать точный критерий Фишера.
- В случае анализа многопольных таблиц ожидаемое число наблюдений не должно принимать значения менее 5 более чем в 20% ячеек. В случае несоблюдения данного условия для сравнения долей следует также использовать точный критерий Фишера.
4. Как рассчитать критерий хи-квадрат Пирсона?
- Рассчитываем ожидаемое количество наблюдений для каждой из ячеек таблицы сопряженности (при условии справедливости нулевой гипотезы об отсутствии взаимосвязи) путем перемножения сумм рядов и столбцов с последующим делением полученного произведения на общее число наблюдений. Общий вид таблицы ожидаемых значений представлен ниже:
- Находим значение критерия χ2 по следующей формуле:
- Определяем число степеней свободы по формуле: f = (r – 1) × (c – 1). Соответственно, для четырехпольной таблицы, в которой 2 ряда (r = 2) и 2 столбца (c = 2), число степеней свободы составляет f2x2 = (2 - 1)*(2 - 1) = 1.
- Сравниваем значение критерия χ2 с критическим значением при числе степеней свободы f (по таблице).
| Исход есть (1) | Исхода нет (0) | Всего | |
| Фактор риска есть (1) | (A+B)*(A+C) / (A+B+C+D) | (A+B)*(B+D)/ (A+B+C+D) | A + B |
| Фактор риска отсутствует (0) | (C+D)*(A+C)/ (A+B+C+D) | (C+D)*(B+D)/ (A+B+C+D) | C + D |
| Всего | A + C | B + D | A+B+C+D |
Данный алгоритм применим как для четырехпольных, так и для многопольных таблиц.
5. Как интерпретировать значение критерия хи-квадрат Пирсона?
В том случае, если полученное значение критерия χ2 больше критического, делаем вывод о наличии статистической взаимосвязи между изучаемым фактором риска и исходом при соответствующем уровне значимости.
6. Пример расчета критерия хи-квадрат Пирсона
Определим статистическую значимость влияния фактора курения на частоту случаев артериальной гипертонии по рассмотренной выше таблице:
| Артериальная гипертония есть (1) | Артериальной гипертонии нет (0) | Всего | |
| Курящие (1) | 40 | 30 | 70 |
| Некурящие (0) | 32 | 48 | 80 |
| Всего | 72 | 78 | 150 |
- Рассчитываем ожидаемые значения для каждой ячейки:
Артериальная гипертония есть (1) Артериальной гипертонии нет (0) Всего Курящие (1) (70*72)/150 = 33.6 (70*78)/150 = 36.4 70 Некурящие (0) (80*72)/150 = 38.4 (80*78)/150 = 41.6 80 Всего 72 78 150 - Находим значение критерия хи-квадрат Пирсона:
χ2 = (40-33.6)2/33.6 + (30-36.4)2/36.4 + (32-38.4)2/38.4 + (48-41.6)2/41.6 = 4.396. - Число степеней свободы f = (2-1)*(2-1) = 1. Находим по таблице критическое значение критерия хи-квадрат Пирсона, которое при уровне значимости p=0.05 и числе степеней свободы 1 составляет 3.841.
- Сравниваем полученное значение критерия хи-квадрат с критическим: 4.396 > 3.841, следовательно зависимость частоты случаев артериальной гипертонии от наличия курения - статистически значима. Уровень значимости данной взаимосвязи соответствует p<0.05.